Геометрический смысл градиента

Вектор градиента $\text{grad}f(\mathbf{x^0}) = (f'_{x_1}(\mathbf{x^0}),\dots,f'_{x_m}(\mathbf{x^0}))$ взятый со знаком - и $1$ в конце является нормалью касательной плоскости $f(x)$: $$\vec{n} = (-f^{'}_{x_1}, -f^{'}_{x_2}, \dots, -f^{'}_{x_m},1)$$